פרק ו: שיטת הרצועות

1. מקור השיטה: "טול חמישים וסבב חמישים"

בכמה מקומות עסקו חכמינו בחישובי שטחים שמידתם - מספר אי-רציונלי. בחלק מהמקומות די היה בכלל "שהמרובע יתר על העיגול (החסום בתוכו) רביע" אולם יש מקומות שבהם לא היה די בכלל זה. במקומות אלו, הלכו חלק מן המפרשים בדרך מתמטית וחלקם בשיטה המחלקת את השטח לרבוע יסודי ולרצועות ומרכיבה מאלה את הצורה הנדרשת. (שיטה נוספת בפרק הבא)

ברוב המקומות הללו מדובר בשרשו של מספר אי-רציונלי שהוא נתון כשטח של ריבוע שצלעו נעלמת.

 "טול חמישים וסבב חמישים"

היסוד לשיטה זו שהיא מתאימה גם, ואולי בייחוד, לאפשרויות מתמטיות מוגבלות, נמצא בדין גינה וקרקף (עירובין כ"ג ע"ב), כמה יהיה גדלם ויהיו מותרים בטלטול אם הוקפו לדירה. כיון שכל דיני שבת נלמדים מעבודת המשכן ומצורתו, נלמד גם דין זה מחצר המשכן, ושטחו צריך להיות כשטחה של בית סאתיים, דהיינו, 5000 אמה. אורך החצר היה מאה אמה ורוחבה חמישים. השטח הוא אם-כן, חמשת אלפים אמה מרובעות. (בית-סאה הוא ריבוע שצלעו חמישים אמה) אלא שנחלקו התנאים בצורתה ואיך תקרא מוקפת לדירה.

( שאלה זו איננה מענייננו ולכן לא תפורט. יצויין רק לצורך הבנת הדברים דלהלן שר' יהודה בן בבא מחמיר יותר מר' עקיבא בדין מה שעושה את הקרקף מוקף לדירה שהוא סובר שצריך שיהא בה שומירה או בת-דירה או שתהא סמוכה לעיר ור' עקיבא סובר שלא)

ר' יהודה בן בבא וגם ר' עקיבא סוברים שהקרקף צריך להיות ריבוע אלא שר' יהודה בן בבא סובר שיש לדקדק החשבון עד שיהא בית סאתיים בדיוק ובריבוע מדויק ובכל מקרה יש לבדוק; אם המקום קטן משיעור זה בדיוק הרי מותר לטלטל בו ואם לא - אסור. לר' עקיבא קבעו חכמים "שיריים" קבועות שהם שני-שלישי אמה, ולמעלה מ 70 אמה ושני שלישי האמה, גם אם לפי החשבון, הוא פחות מבית-סאתיים, מכל מקום, מחמיר הוא שלא לטלטל.

במשנתנו לא נכתב מה הוא שיעורם של אותם "שיריים" אבל להלן (עירובין פרק ה משנה ג) אחר שכתב שנותנים לעיר קרקף של ע' אמה וישייריים שכל 70 ושייריים שמחוץ לעיר יחשבו כעיר עצמה, כתב ששני כפרים המרוחקים זה מזה 1411/3 אמה יכולים להלך מכפר לכפר כי לכל אחד מהם יש שבעים אמה ושיירים מחוצה לו שנחשב כמותו. הא למדת, שהשיירים של עיר אחת הם 2/3 האמה. (אמנם שם השמיעה המשנה חידוש נוסף שגם כפר שלישי המרוחק מהקטע המחבר את שני הכפרים פחות מאלפיים אמה יכול להצטרף אליהם ויהיה מותר להלך גם אליו וממנו, אלא שאין זה קשור לדיוננו)

על כן לא ברור מה שנכתב בירושלמי על משנתנו (עירובין פרק ב הלכה ה):

"ותנינן שבעים ושיירים. ותני שמואל: (שבעים) אמה ושני שלישי אמה שנו", שמשמע כאילו שמואל חידש את הדבר הזה, בעוד שהוא משנה מפורשת.

אף הרמב"ם בפירוש למשנתנו כתב:

"ואם תעשה השיירים שני שלישים כמו שנראה מן הירושלמי"

שאף אילו אמרנו ששמואל בירושלמי אמר את דינו לפי המשנה לקמן, יקשה מדברי הרמב"ם שלפי דבריו זהו חידוש של הירושלמי.

עוד יש לבאר מה שכתב הרמב"ם בפירושו כאן:

"ור' עקיבא היה עושה החשבון בקירוב יותר ועושה השיירים שני שלישים או קרוב לזה, עד שתהא מידת המרובע קרוב לבית-סאתיים. וכך ייראה מדבריהם במקום אחר."

צריך להבין מהו שכתב "שני שלישים או קרוב לזה", שהרי לדעת ר' עקיבא יש קפידה דוקא על 2/3 אמה ולא על מידה קרובה לזה.

מה שכתב "וכך ...יראה מדבריהם במקום אחר" אפשר שכוונתו למחלוקתם בשומירה ובית דירה, אם צריך או לא, שגם שם ראינו שר' יהודה בן בבא מחמיר יותר מר' עקיבא, כמו שכתב הרמב"ם לעיל ששתי המחלוקות מקבילות. ( הרב קאפח העיר על דבריו אלה של הרמב"ם "איני יודע היכן")

ר' יוסי סובר שמותר לטלטל בבית סאתיים גם אם אורכו יתר על רוחבו, עד שיהיה אורכו כפליים מרוחבו כחצר המשכן [100X50] ור' אליעזר סובר שכדי שיוכלו לטלטל בו צריך שיהיה אורכו שווה לרוחבו או גדול ממנו עד שיהא האלכסון כפול מהרוחב.

הערכים הבלתי רציונליים כאן הם אורך הצלע לפי ר' יהודה בן בבא, אורך האלכסון לר' יוסי ואורך האלכסון והצלעות לר' אליעזר.

וכבר חישב הרמב"ם ערכים אלה בדרך מתמטית [ בפירושו למשנתנו] ועל הדרך (בעיקר, משפט פיתגורס) אמר:

"וכל מה שביארנו, שורשי המספרים ומידת האלכסונים והתשבורת, הוא פשוט מאוד אצל מי שידע ואפילו מעט מתורת החשבון וההנדסה אבל יקשה מאוד וישתבש בו מי שלא למד כלום מזה"

(דבר זה נתקיים ברע"ב שכתב בפירוש למשנה: " והרמב"ם ביקש חשבונות רבים ולא ירדתי לסוף דעתו")

על הערכים שחישב, כתב שאינם רציונליים:

"והעניין במספר הזה כמו שביארתי לך למעלה ביחס קוטר העיגול להיקפו, לפי שגם הוא אי אפשר לעולם להגיע לידיעת שרש המספר, אלצ'ם (=אי רציונלי, בערבית) שלו, אלא בקירוב, ואין זה מחת חסרוננו אלא שטבע אותו מספר כך."

עוד כתב:

"וכל המספרים האלו בקירוב, והזכרתים לך כעין דוגמא, ואי אפשר להוציא אותם בדיוק לפי שכולם מספרים שאין להם שורש"

הוא חישב שהשבעים אמה ושיירים לשיטת ר' יהודה בן בבא הם 705/7 אמה בקירוב,

"לפי שאם תעשה את השיירים האלו חמש שביעיות כמו שביארתי לך ותכפול שבעים אמה וחמש שביעיות בשבעים אמה וחמש שביעיות, יהיו תוצאות המספר, חמשת אלפים וחצי אחד בקירוב (וליתר דיוק - 500025/49) ואם תעשה השיירים שני שלישים כמו שנראה מהירושלמי (כנ"ל) יהיה מידת אותו השטח ארבעת אלפים ותשע מאות ותשעים ושלושה ושבע תשיעיות " (והוא הרבה פחות מדוייק)

לר' יוסי צריך אורכו להיות פי שניים מרוחבו לכל היותר,

"עד שיהא אורכו ק' אמה ורוחבו נ' כמו בחצר המשכן מטלטלים בתוכו ושיהיה בזה האלכסון קרוב לקי"ב והוא (האלכסון ) יותר מכפל הרוחב "

לר' אליעזר יכול האלכסון להיות לכל היותר כפל הרוחב,

"שיהיה אורך השטח תשעים ושלושה ושליש תשיעית והרוחב חמישים ושלושה, ושלושה רבעים*, יהיה האלכסון מאה ושבעה וחצי."

דברים אלו נתקבלו ע"פ חישוב אלגברי פשוט: האורך והרוחב הם שני נעלמים, ששני דברים ידועים לנו עליהם - סכום ריבועיהם וגם מכפלתם.

הר"ח בפירושו לסוגיתנו, נתן ערך מקורב לשיירים הנוספים על ה 70, לשיטת ר' יהודה בן בבא, וכפי שמשמע מדבריו, הלך גם הוא בדרך חישובית פשוטה; ' הדבר הקל' היתר על שני שלישי אמה שלדעת ר' יהודה יש לדקדק בו הוא:

"חלק מי"ב חלקים לאמה וחצי אצבע מחמש אצבעות לטפח. נמצא ע' אמה וב' שלישי אמה וחלק מי"ב חלקים לאמה וחצי אצבע מה' אצבעות לטפח על ע' אמה וב' שלישי אמה וחלק י"ב חלקים לאמה וחצי אצבע מה' אצבעות לטפח"

והוא שיעור בית סאתיים בריבוע. שיעור זה 7049/60 שהוא כמעט 705/6 בעוד שהשיעור האמיתי אינו מגיע אפילו ל 705/7 כמו שכתב הרמב"ם, ועוד שריבועו של מספר זה אינו מדוייק בשיעור כפול(!) בערך משיעורו של הירושלמי (והמשנה להלן כנ"ל) בדברי ר' עקיבא כפי שמראה הבדיקה.

יקותיאל גינצבורג (במאמרו "יעקב משה מאירסון") הגיה משום כך לגרוס בדברי הר"ח בשלושת המקומות שהוא חוזר על שיעורו במשפט זה - "..ועוד חצי חלק מי"ב חלקים לאמה.." שאז תהא צלע הריבוע דנן 7027/120 שהוא מעט יותר משיעור הרמב"ם, ונקט מספר מסובך זה כי רצה במספר מקורב שאפשר להגיע אליו ע"י המידות המקובלות - אמה, טפח ואצבע.

הרמב"ם והר"ח לא דייקו בשיעוריהם ולקולא, אבל זה רק כדי לדרוש ולקבל שכר, כי הלכה כר' עקיבא כמו שכתב הרמב"ם בפירושו למשנה.

המפרשים הנ"ל חישבו את השטחים בדרך רגילה אולם רש"י ובעקבותיו כמה מפרשים נקטו בדרך מיוחדת - דרך הרצועות - שאותה הסיקו, כנראה, מלשון הגמרא:

"ר' עקיבא היינו תנא-קמא?" (כלומר, מה ההבדל בין ר' עקיבא לבין ר' יהודה בן בבא, לרש"י הכונה לתנא של המשנה הקודמת)

"איכא בינייהו דבר מועט דתניא ר' יהודה אומר: דבר מועט יש על שבעים אמה ושייירים ולא נתנו חכמים בו שיעור"

וכמה שיעור סאתיים? כחצר המשכן. מנא הני מילי? אמר רב יהודה דאמר קרא: (ספר שמות פרק כ"ז פסוק י"ח) "אורך החצר מאה באמה ורוחב חמישים בחמישים". אמרה תורה: טול חמישים וסבב חמישים"

מדברי התורה "ורוחב חמישים בחמישים" שיש בהם ייתור, שדי היה לומר, ורוחב חמישים ותו לא, מדייקת הגמרא דין בהלכות שבת. שצריך לסבב חמישים סביב חמשים, תוך כדי שמירה על השטח, כך שיווצר ריבוע ששטחו שווה לשטח המלבן של חצר המשכן - 5000 אמות מרובעות.

מתוך דברי הגמרא משמע לא רק שבית-סאתיים צריך להיות ריבוע, משמע שהוא צריך להיות ריבוע בצורה מיוחדת, התשב"ץ, למשל, דייק מכך (חלק א עניין קס"ה) שאע"פ שבד"כ אין לדייק יותר מ 2√=7/5, כאן יש לדייק יותר (כפי שנתבאר שם).

רש"י למד מתוך הדברים משהו אחר. הואיל והוא תפס את הדברים כפשוטם, חלק את החצר המשכן לשתי חתיכות רבועות של חמישים, ואת אחת מהן חלק לרצועות, רצועות שבהן הקיף וסבב את ה 50 הנותרים מצידיהם עד שנעשו ריבוע של 70 אמה וד' טפחים.

מתוך לשונו משמע שזה הוא פשט דברי הגמרא:

"טול חמישים וסבב חמשים הנותרים דהוו להו שבעים אמות וד' טפחים מרובעים. כיצד?...וכאן הוא מפרש את פירושו.

תחילה מחלק הוא את המלבן של 100 על 50 לשני ריבועים שאורך צלעם הוא 50 אמה. את אחת מהן הוא מחלק לחמש רצועות מלבניות בעלות אורך של 50 אמה ורוחב 10 אמות, ושם ארבע מהן בכל רוח של ה 50 על 50 השני. את הפינות הוא ממלא בעזרת הרצועה של י' על נ' שהותיר, ע"י כך שהוא מחלקה לחמישה ריבועים שאורך צלעם 10 אמות ושם ארבעה מהם בארבע הפינות. עתה נותר לנו עוד ריבוע של עשר על עשר ויש לפנינו ריבוע 70 על 70.

השיירים הנוספים יתקבלו ע"י חלוקת הי' על י' הנותרים לרצועות שיושמו בארבעת הצדדים ובפינות. מאחר

שכל אמה מחזקת שישה טפחים הרי עשר אמות מחזיקות שישים טפחים ואם כן נותרו לנו שישים רצועות מלבניות של טפח על עשר אמות שהם שלושים רצועות של שני טפחים על עשר אמות. כשנחברם לרצועה אחת, יהיה אורכה שלוש מאות אמה ורוחבה - שני טפחים.

מכיון שאורך הריבוע שהגענו אליו עד כה הוא 70 אמה, הרי היקפו הוא 280 אמה. עתה נוכל לקחת 280 אמה מתוך ה 300 שרצועתינו הנוכחים ארוכה ולהקיף בהם את הריבוע מארבע רוחותיו. כדי למלא את הפניות, ניקח 4 פעמים 2 טפחים על 2 טפחים מתוך המלבן של 2 טפחים על 20 אמה שנותרו. עתה עומד לפנינו ריבוע שאורך צלעו 70 אמה ו 4 טפחים, שהוא בדיוק שיעורו של ר' עקיבא. את הרצועה שנותרה לנו - 18 אמות ו 4 טפחים על 2 טפחים, מזניח ר' עקיבא. רש"י מוסיף ואומר שאם נבוא להמשיך ולהקיף, לא תגיע התוספת אפילו לשני שלישי אצבע שהוא שיעור קטן שאין לה להתחשב בו, לדעת ר' עקיבא.

וההסבר לדברים כך הוא: אורך הרצועה שלנו הוא 182/3 אמה, בעוד שאנו זקוקים לרצועה באורך 280 אמה ועוד משהו בשביל הפינות שהוספנו, וגם בשביל הפינות שעלינו להוסיף. יש להאריך, איפוא, את רצועתנו, קצת יותר מפי 280/182/3, דהיינו, בערך פי 15. כדי שנוכל לעשות זאת תוך שמירה על שטח הרצועה, עלינו להקטין את רוחבה מחצי אצבע כי חצי אצבע הוא 1/16 בשני טפחים.

נמצא שרש"י מעריך את 5000√ המדוייק ב7013/28  פחות משהו. (בטפח ישנם ארבע אצבעות.) שיעור זה פחות קרוב ל 5000√ מאשר שיעורו של הרמב"ם. ריבועו של שיעור זה הוא קצת יותר מ 5000+13/5.

רש"י מנמק את דבריו, שאורך הרצועה צריך להיות רפ"ג אמות, ועל כן, לא ייתכן שרוחבה יעלה על 2/3 אצבע. יש שגרסו "רפ"ב אמות וד' טפחים" כי זה הוא היקף הריבוע שצלעו שבעים אמה וד' טפחים, ואת הפינות הצריכות מילוי לא החשיב רש"י (הגירסא שלפנינו היא רפ"ג אמות וד' טפחים וכבר העירו האחרונים שהוא שיבוש)

הרע"ב שהעתיק בפירושו למשנה זו את דברי רש"י הביא כאן את הגירסא: רפ"ג אמות, ועל זה כתב בתוספות יו"ט:

"על צד הקירוב הוא, לפי שהוא (השיעור האמיתי) פחות (מרפ"ג) ב' אצבעות ושני שלישי אצבע כי השטח שעשינוהו שבעים אמות וד' טפחים על ע' אמות וד' טפחים, הקו שיקיפהו בד' רוחותיו יהיה אורכו ד' פעמים ע' אמות וד' טפחים" הוא מפרש שההיקף לפי זה הוא 282 אמות וד' טפחים ומוסיף:

"עוד (צריך להוסיף ברצועה) כדי למלאות בקרנות הפגומות, ופגימתן לדברי הר"ב שעשה הרצועה הזאת המקפת ברוחב שני שלישי אצבע - צריך למלא ל ד ' קרנות, לכל אחת שני שלישי אצבע על שני שלישי אצבע שהן ד' אצבע, וד' פעם ארבע שלישי אצבע, הם ט"ז (שלישי אצבע) שהם חמש אצבעות ושליש אצבע"

אם כן, צריך להוסיף לרצועה של 282 אמה ו 5 טפחים ואצבע ושליש אצבע - 22/3 אצבעות כדי להגיע לרפ"ג שאמר הברטנורא ובזה לא דייק.

בפירוש "ראשון לציון" הקשה עליו במה שאמר ששני שלישי אצבע על שני שלישי אצבע הוא ד' שלישי אצבע, שהרי שטח של ריבוע שאורך צלעו 2/3 אצבע הוא 4/9 אצבע (הקטע המכיל את תירוצו חסר לפנינו)

המדפיס ר' לייזר שטייניץ, הדפיס שם על הגליון, שכונת התוספות יום-טוב לא היתה כלל לשטח שהרי הוא מדבר באורך הרצועה ולא בשטחה ומכיון שדבר על ההיקף הרי מה שנוסף בכל פינה, הוא אורך של 4/3 אצבע אע"פ שהשטח הוא 4/9 אצבע.

אולם עדיין לא הובררו דבריו שהרי הוא עוסק באורך הרצועה כולה שממנה מרכיבים את מילוי הקרנות, ואורך רצועה זו אינו שוה לאורך ההיקף הנוצר לאחר הוספתה. כל קרן יש בה שני ממדים, אורך ורוחב של 2/3 אצבע. רוחבה מכשיר אותה להכנס לתוך הרצועה ואורכה מצטרף לאורך הרצועה. על כן, אורך החלק שצריכים להפריש מן הרצועה לצורך מילוי הקרנות הוא8/3 אצבע.

הגר"א בהגהותיו לסוגיתינו אומר על דברי רש"י ביחס לתוספת שנוסיף, שרש"י כתב שלא תעלה על שני שלישי אצבע בצד אחד, כלומר שאורך הצלע לא יגדל ביותר מאצבע ושליש:

נ"ב, והוא אצבע ואחד מי"ח אצבע בקירוב"

אורך צלע הריבוע לפי ר' יהודה בן בבא היא בקירוב גדול מאוד מאוד 70 אמה ו 4 טפחים שהם 2/3 אמה ועוד אצבע שהיא 1/24 של אמה ועוד אחד מי"ח מ 1/24 באמה.

ערך זה קרוב לערך שנתן הרמב"ם, אלא שהוא יותר מדוייק ממנו. ה 5/7 שהציע הרמב"ם כשיירים, גדולים במקצת מן ה 307/432 של הגאון.

מעניין לציין שהשיטה הזאת של סבב חמישים סביב חמישים ע"י חלוקה לרצועות יש מקום להוציאה מתוך דברי התלמוד הבבלי, אבל בירושלמי לא נאמרה לשון כזאת:(עירובין פרק ב הלכה ה)

"שבעים אמה ושייריים (אמר) ר' שמואל בר נחמני בשם ר' יונתן: מחצר המשכן למדו: אורך החצר מאה באמה ורוחב- חמישים בחמישים, וחמשין זמנין מן מאה - הא חמש אלפין"

הירושלמי מסתפק בדימוי הדין שלנו לחצר המשכן אך לא תולה את הטעם לכך שבית-סאתיים, לדעת ר' יהודה ור' עקיבא צריך להיות רבוע, בגזרת הכתוב. על אף שגם בו מדובר על כך שבית סאתיים צריך להיות רבוע, והוא אף מברר מה הם השיירים ומוכיח שריבוען קרוב ל 5000, בכל זאת אין הוא לומד את הדברים מן הפסוק.

2. חשבון רצועות בדברי האחרונים

בשלושה מקומות השתמשו האחרונים בפירושיהם לדברי רש"י (הרשב"ם בדרך של רצועות, שני מקומות בענין בית כור ומקום אחד בעניין בית ארבעת קבין)

בית כור הוא שלושים סאים ומתוך שבית סאה הוא 2500 אמה בריבוע (חצי מחצר המשכן) לכן שטחו של בית כור הוא 75,000 אמות מרובעות. המשנה והגמרא בקידושין (ס' ע"ב) דנה בקידושי אישה בבית כור עפר והגמרא בבא-בתרא (ק"ב ע"ב) מזכירה בית כור כדוגמא למכירת קרקע. בשני המקומות אין המשנה או הגמרא דנות במידותיו של בית כור אבל רש"י והרשב"ם עוסקים בו.

רש"י בקידושין, לפי גרסת המהרש"ל, אומר שאורך צלעו של ריבוע ששטחו בית-כור, הוא רע"ד אמות מהרש"ל מעיר שערך זה הוא מקורב ויותר תדייק אם תפחית מרע"ד שלושת רבעי טפח ומשהו ( 75000√ הוא בערך 2738/9 שהם, במידות - התלמודיות - רע"ד אמות חסר ג' אצבעות ועוד קצת פחות משליש אצבע)

לפי הגירסא שלפנינו (במהרש"א מובאת גירסא משובשת שהיתה לפניו) אומר רש"י את כל החשבון בעצמו:

"ואם אתה מרבענו (לבית-כור) תמצאנו מאתים ושבעים ושלושה, וה' טפחים, על מאתיים ושבעים ושלושה וה' טפחים ודבר מועט"

לב"ח בהגהותיו על הסוגיא יש גירסא דומה ברש"י והוא מסביר שה"משהו" שהצלע יתרה על רע"ג וה' טפחים - " הוא פחות מחצי רוחב אצבע ויתר על שליש" כעין זה ובמילים שונות כתב גם על דברי הרשב"ם בבבא-בתרא, ושיעור זה אינו מדויק כי לפי החשבון ה "משהו" הוא יותר מחצי רוחב האצבע (וכן הוא בשאר האחרונים בנידון)

(אמנם במסורת הש"ס שם הביא את לשונו והיא כחישוב הנכון וכדברי המהרש"ל הנ"ל)

גם בדברי הרשב"ם יש חילוקי גרסאות (הגירסא בש"סים שלנו משובשת) בזה כמו בדברי רש"י בקידושין (לפי גרסת המהרש"א שם :27313/15) בסוגיה בקידושין מסביר המהרש"א איך נגיע לחשבון ריבועו של בית כור ע"י רצועות (הדברים צויירו בסוף המסכת), אולם המיוחד בדבריו הוא שהוא שם את רצועותיו רק בשתי ובערב ובפינה אחת כזה:

בניגוד לרש"י לעיל (סעיף 1) בעניין בית סאתיים שהניח את הרצועהות מארבע הרוחות ומלא ארבע קרנות כזה:

אותו הדבר עשה המהרש"א בדברי הרשב"ם בעניין בית ארבעת קבין (בבא בתרא פ"ט ע"ב). הרשב"ם שם חישב ומצא שבין ד' קבין הוא שטח של 331/3 אמות על 50 אמה, דהיינו 1662/3 אמות מרובעות.

הרשב"ם אומר שכשהן בריבוע, הרי צלע הריבוע היא: "מ' אמות וד' טפחים וג' אצבעות מעט יותר"

כלומר, מעט יותר מ 4079/96 שהוא כמעט 40.8 . לפי גרסת הב"ח בהגהותיו שם צריך להיות: "מ' אמות וד' טפחים וג' אצבעות וג' רבעי אצבעות ומשהו, והמשהו פחות מאחת בעשרים ברוחב אצבע"

אף בסוגיא זו האריך המהרש"א להסביר את הדברים ברצועות, בשיטה שבה נהג בחשבון בית כור, כלומר, הנחת הרצועות בשתי רוחות בלבד, ולא בארבע.

ברור שהשיטה שבה נקט המהרש"א היא נוחה יותר לחישוב, ועם זאת, דומה היא בדיוק לשיטה השניה (שבה הלך רש"י). אין גם צורך בשום ידיעה או המצאה מתמטית כדי להגיע לשיטת המהרש"א ברצועות.

עלינו, אם כן לשאול מדוע האריך רש"י בדין גינה וקרקף (עירובין כ"ג ע"ב) וכן בדין אילן הסמוך למיצר (בבא בתרא כ"ז ע"א) בהקפת הריבוע מארבע רוחותיו ובמילוי ארבע קרנות, אם יש דרך קלה מזו ולפי אותה השיטה.

התשובה לשאלה זו מתקשרת להנחה שהנחתי בראש פרק זה - שרש"י למד לחשב בדרך הרצועות מדברי הגמרא שם: "טול חמישים וסבב חמישים"

שהוא תפס אותם כמעין גזרת הכתוב המלמדת שיש לסבב את השטח הנדרש ברצועות. על כן היה הוא נאמן לאותו הכלל ובאמת "סבב" חמישים אמה סביב חמישים מארבעת הצדדים.

מזה בנה אב לכל חישובי השטחים שבתלמוד שאין הכללים הרגילים ( "שהמרובע יתר על העיגול וכו'" וכיו"ב ) מועילים בהם, שיש לסבב רצועות מארבע רוחות ולמלא את הקרנות. לכן המשיך רש"י בדרך זו אף בסוגיא הנזכרת, בבא-בתרא.

המהרש"א, לעומת זאת, לא השגיח בדברים אלה וחישב בדרך הנוחה ביותר לשם הבנת העניין בלבד, כפי שהתבטא הוא עצמו*

"וזה הוא ברור. הארכתי לאינם יודעים בחכמת התשבורת"

3.מעבר משיטת הרצועות לשיטת החוטים

סוגיא מיוחדת במינה מבחינת הרצועות שבה היא סוגיית אילן דעולא (בבא בתרא כ"ז ע"א). בסוגיא זו הלך רש"י בדרך שהתווה לעצמו בעניין בית סאתיים (סעיף 1) ואף שיטת רבנו תם בתוספות קרובה לשיטתו. אולם באה כאן גם שיטה נוספת שיש בה מעין פיתוח של שיטת הרצועות, כפי שיבואר.

"ואמר עולא: אילן הסמוך למיצר בתוך שש עשרה אמה - גזלן הוא (בעליו, כי האילן יונק קצת משדה חברו) ואין מביאין ממנו ביכורים" (ביכורים אין אדם מביא משל חברו - "ראשית ביכורי אדמתך")

לאחר דיון בשאלה "מנא ליה לעולא הכי" אומרת הגמרא:

"ואלא מדתנן: שלשה אילנות של שלושה בני אדם, הרי אלו מצטרפין וחורשין כל בית סאה בשבילם"

דין זה נאמר לענין חרישה ערב שביעית, עד עצרת. באותו זמן אסור לחרש אלא תחת האילן עצמו ובסביבתו הקרובה, אבל שדה אילן מותר לחורשו כולו. משנה זו מחדשת ששלושה אילנות נותנים לכל בית הסאה שהם בתוכו דין שדה אילן. מכאן נוכל ללמוד ששיעור יניקתם של שלושה אילנות הוא שטח של בית סאה שכשהוא בריבוע - צלעו 50 אמה.

מקשה הגמרא:

"כמה הוו להו - תרי אלפי וה' מאה גרמידי. לכל חד כמה מטי ליה - תמני מאה ותלתין ותלתא ותילתא (8331/3) אכתי נפיש ליה דעולא",

שהרי עולא אמר שאילן יונק שש עשרה אמה לכל רוח שהם, לפי ההוא-אמינא, בריבוע, ונמצא שתחום היניקה של אילן הוא ריבוע שצלעו 32 אמה, שהוא שטח של 1024 אמות מרובעות. שיעור זה גדול מה 8331/3 כפי שמשמע מהמשנה, ואכתי - "מנא ליה לעולא הא".

לאחר דיון קצר מתרצת הגמרא:

"מי סברת בריבועא קא אמרינן, בעיגולא קאמרינן"

השיעור של עולא - ט"ז אמה לכל רוח הוא בעיגול ולא בריבוע. כלומר, אילן עולא הוא מרכזו של עיגול שאורך מחוגו 16 אמה.

עתה ניגשת הגמרא לחשב את שטחו של עיגול זה, בהסתמך על הקירוב: π=3 שלפיו ניתן לקבוע:

"מכדי, כמה מרובע יתר על העיגול - רביע (ראה פרק א סעיף 1) פשו להו ז' מאה ושתין ותמניא" (0.75*1024=768)

אולם עדיין יתר השיעור- 8331/3, הנובע מהמשנה על ה 768 דעולא. את אי דיוקו של עולא מנסחת הגמרא במילים:

"וכתי פש ליה פלגא דאמתא" ויש שגרסו:

"פשו להו תרי תילתי אמתא"

על קטע זה בעיקר, מוסבים הפירושים השונים שטורחים להסביר איך הגיע הגמרא לחצי אמה או לשני שלישי אמה.

לרש"י יש להקיף את הריבוע החוסם את העיגול שבמרכזו האילן ומחוגו ט"ז אמה ואין להתחשב בכך שעלינו להקיף את העיגול, משום שאין ההבדל גדול כל כך ונוח לחשב בריבוע.

השטח של המשנה גדול מהשטח דעולא ב 65 אמה (651/3= 768 -8331/3 ; שליש אמה מזניחים)

ההיקף שעלינו להקיף ברצועה שניצור מ 65 אמה אלו הוא 128 אמה [32X4] אז נקבל את היתרון שהמשנה יתרה אדעולא באורך מחוג היניקה (בערך כי אנו מקיפים את הרצועה בריבוע ולא בעיגול) ולא רק בשטח.

אם נחצה את הרצועה שבידנו - 65 אמות על אמה לרוחבה, נקבל ברצועה של 130 אמה על חצי אמה וזו היא בדיוק הרצועה הדרושה, כיון שאחרי שנשים רצועה שאורכה 32 אמה במזרח וכנגדה במערב, יתוספו לרוחות האחרות שני חצאי אמה שהם אמה ועתה יצטרך אורכן של הרצועות שבצפון ובדרום להיות, כל אחת 33.

2*32+2*32=130

(ומה שתיקנו במסורת הש"ס, ס"ה במקום ס"ו הוא טעות כמו שהעיר הרש"ש)

נמצא שהרצועה שהוספנו מארבעת הצדדים מוסיפה למחוג העיגול חצי אמה, בקירוב " ולא דקדק הגמרא כל כך דנקט פלגא דאמתא, דהא עולא בעיגול קאמר ואילו בעיגול - הייתי יכול להוסיף עליו שני שלישי אמה לכל צד ואית דגרסי - פש ליה תרי תילתי דאמתא"

גירסה זו מביא רבנו תם בתוספות [ד"ה הכי גרס] והוא מבאר איך להגיע לשני שלישי אמה אלו:

"שהרי אם תקיף ל"ב על ל"ב מרובעים (ברצועה שרחבה שני שלישי אמה) יצטרך קכ"ח, ולד' קרנות ח' שלישים (בכל פינה ריבוע של 2/3 על 2/3 וכשנחברם ביחד יהיה 8/3 ברוחב2/3)

הרי ק"ל ושני שלישים אורך על שני שלישים רוחב. תחסר הרביע שהעיגול פחות (כלומר, כפול ב3/4 כי המרובע יתר על העיגול רביע ואנחנו מעוניינים ברצועה המקפת עיגול) - ישאר צ"ח  (0.75*1302/3=1*651/3)

בהמשך מוכיח הוא (גם על פי שטחים ורצועות) את השויון:

(2/3)*98=1*651/3

עוד שתי דרכים אחרות מביאים התוספות, המגיעות גם הן, ע"י שטחים, צירופם וחלוקתם לערך של 8331/3 לאילן המשנה, ולכך שהוא יתר 2/3 אמה על אילן עולא. לאחת מהן אף מובאת שם הגהה המסבירה אותו עניין "כעין זה". כן מובאים שם שני פירושים המחשבים שאילן דעולא תופס מקום בשטח שאינו נכלל בתוך 16 אמות היניקה. אחד מהם, פירוש רבנו משולם, משנה גם את הגירסא בגמרא ואת המובן של "פש ליה פלגא דאמתא" שהוא מפרשו על שלושת האילנות יחד- כל הפירושים הללו חשובים הם כשלעצמם לסוגיא שם, אך לא לענייננו.

אותנו יעסיק הפירוש ש"מצא ר"י בספר אחד, מפורש בגליון ספר"(לשון התוספות). החידוש שבפירוש זה הוא בכך מהווה מעין פיתוח של שיטת הרצועות לשיטה נוחה יותר מבחינת החישוב - שיטת החוטים. גליון-הספר מציע:

"להקיף בחוטים אילן דעולא שהוא ל"ב על ל"ב (בעיגול) עד שיהא שני שלישי אמה סביב. תחתוך החוטים ותפשטם, יהיה העליון, ארכו ק' שהוא מקיף ל"ג ושליש וכל שיש ברוחבו טפח יש בהיקפו שלשה,  (π=3) והתחתון צ"ו שהוא מקיף ל"ב, הרי אורך התחתון פחות מן העליון מכל צד ב' אמות. ותחתוך העודף מצד אחד (אחרי שפשטת את החוטים) ותמלא צד אחד האורך לצד אחד הקצר תהיה רצועה צ"ח (על 2/3) וכן הוא ס"ה ושליש"

החלק האחרון של הדברים הוא ניסוח בלתי מתמטי של העובדה ששטח טרפז שווה לחצי מכפלת סכום בסיסיו בגובהו.

היתרון שבשיטה זו הוא שהיא מתאימה גם לעיגול ושהיא מתמטית יותר משיטת הרצועות (יש לציין, שעל אף הצורה הנאיבית שקבלה שיטה זו לפנינו , יש דמיון רב בינה לבין שיטות מקובלות במתמטיקה מודרנית)

כבר העיר המהרש"א שאפשר למלא בחוטים את כל העיגול כולו ולא רק את היתרה שיתר אילן המשנה על אילן עולא, כפי שעשו התוספות בשני מקומות (עירובין נ"ו ע"ב ד"ה כמה ; סוכה ח ע"ב ד"ה כמה)

נמלא בחוטים עיגול הגדול מאילן עולא בשני שלישי אמה במחוגו, כלומר, שמחוגו הוא 162/3 אמה. ההיקף יהיה 100 אמה. כשתחתוך ו"תפשוט" החוטים תקבל משולש שוה-שוקיים שבסיסו 100 וגובהו 162/3. חתוך בגובהו ושים שני המשולשים "זה אצל זה" תקבל מלבן של 162/3 על 50.

מכיון ש 162/3 הוא בדיוק 1/3 מחמישים הרי זה הוא בדיוק אילן המשנה ונמצא שאילן המשנה יתר 2/3 אמה על אילן עולא שלא-דק לחומרא.

הוכחה זו והוכחת ר"י שם לכלל "שהמרובע יתר על העיגול רביע" גם בשטח (פרק א, סעיף 1) שתיהן פיתחו את שיטת החוטים החלקית שהיתה תוצאה משיטת הרצועות, לשיטה כללית וכמעט מתמטית (מלבד כמה דברים, כגון, פישוט החוטים שאי אפשר להסבירו בצורה מתמטית) יש לשים לב שבשני המקומות מובאת הוכחת התוספות בשם ר"י ואף כאן מצא ר"י את הדברים "בגמרת הספר". יתכן שעל סמך מה שמצא באותה הגהה על הגליון פתח את הוכחת הכלל "שהמרובע יתר על העיגול רביע".