פרק ח: יישוב לבעיית העיגולים בתלמוד

1."כל שיש בהיקפו ג' טפחים יש בו רוחב טפח" לפי ישוב חדש

כמה וכמה מן הקשיים שהובאו בפרקים הקודמים ביחס לחישובים תלמודיים בענייני היקפי העיגולים ושטחיהם, שתורצו בתירוצים שונים איש איש במקומו, זכו לשיטה כללית ביחס לדרכם של חכמים בעסקם בעיגולים, המישבת את רובם ככולם.

אף רעיון זה הגה ר' יעקב משה מאירסון וכללו בקונטרס הצנוע "הערה בחכמת המדידה" (הנספח ל"מבוא התלמוד" לר' ישראל יחיאל מיכל רבינוביץ, פרק ז סעיף 1) רעיון זה הוצע גם ע"י חכם אחר – ר' חיים דוד מרגליות (דבר ישרים, עמודים פח פט), וחזר ונמצא ע"י מתתיהו הכהן מונק.  מאירסון הסתפק בנתינת הדברים בקיצור, ר' ח.ד מרגליות הוסיף בהם מעט ביאור ואילו מונק פתח את הרעיון והראה איך הוא משתבץ בדברי הקדמונים במאמרו "שלוש בעיות הנדסיות בתנ"ך ובתלמוד" ( עמ' ריח-רכז)

וזו היא ההצעה (בלשונו של מאירסון)

"ובדבר הכלל שקבעו חז"ל שכל שיש ברוחבו טפח יש בהיקפו ג טפחים, נראין הדברים שלא דברו כלל מעיגול מלא אשר שיעורו איננו ידוע כי אם בקירוב, כפי שידוע לחכמי המידות וכפי המבואר בדברי הרמב"ם (בפירוש המשניות על עירובין פרק א, ה)  שהזכרתי מהם, רק (=אלא) הם כונו על הסיבוב של שישה מיתרים והוא תמונה עיגולית של שישה קצוות כזו: "

ר' חיים דוד מרגליות הוסיף ותלה טעם בכך שרואים את המצולע החסום בעיגול – כעיגול עצמו:

"אלא שהמדידה היתה בקנה וקנה זו היתה מידתה חמש אמות, והוא צלע המשושה בעיגול זה" (של ים שעשה שלמה שהיה קטרו עשר אמות, וממילא, מחוגו וצלע המשושה החסום בו היו חמש אמות )

הדרך היא דרכם של של מאירסון ומונק בזה, אלא שיש בה חידוש גדול. דרך זו תתרץ, ולא בדרך מדרשית כפי שעשה מונק (פרק ה סעיף 5), את קושית התוספות מדברי הגמרא (עירובין י"ד ע"א) "והאיכא משהו".

עתה נוכל לומר, ע"פ דבריו, שחכמינו וגם מודדי כלי המקדש השתמשו למדידת היקף העיגול, בקנה שאורכו כאורך רדיוס העיגול, והיקפו של המשושה שנוצר ע"י כך נחשב להם כהיקף המעגל עצמו, כלומר, שכל שיש בו רוחב טפח – יש בהיקפו שלושה טפחים, וא"כ יכלו חז"ל להקשות ולדרוש שהמודד ימדוד בקנהו, כלומר, יחסום את המשושה בתוך עיגול שכולל גם את שפתו.

ההוספה שבדברים הללו על דברי שני בעלי השיטה האחרים היא שלפי הסבר זה הייתה דרך המדידה המעשית של הקדמונים ע"י קנה ישר. ולא רק שרואים את העיגול כאילו היה משושה.

מונק הסביר את דעתו במאמרו, שחכמינו בכל דבריהם וחישוביהם ביחס למעגל, מכיון שידעו שלעולם לא יוכלו להגיע לערכו המדויק, בחרו להם מצולע משוכלל, או מצולע שוה צלעות שסכום צלעותיו קרוב לאורך המעגל, והשתמשו בו בראותם את היקפו או שטחו כהיקף או שטח המעגל. (רעיון זה משמש יסוד לכמה הוכחות במתמטיקה המקובלת של ימינו, ראיית העיגול כמצולע בעל מספר גדול של צלעות. ערכו של π, למשל, ניתן לחישוב כשהמעגל הוא הגבול של סדרת מצולעים משוכללים החסומים בתוכו, שמספר צלעותיהם גדל והולך)

חז"ל בחרו, או קיבלו מסיני (עיין פרק ה) להשוות את היקף המעגל דוקא להיקפו של משושה כי הוא מתאים ונוח לחישובים שונים בגלל תכונותיו.

בהמשך דבריו מראה מאירסון, וכך כתבו גם שני בעלי הדעה האחרים, איך יובן הכלל "כל שיש בהיקפו ג טפחים יש בו רוחב טפח" לפי שיטה זו.  מתוך הגיאומטריה ידוע שמחוג המעגל שווה בארכו לאורך צלעו של המשושה המשוכלל החסום בתוכו וממילא שווה קוטר המעגל הזה לשליש היקף המשושה. בסוף דבריו כתב מאירסון:

"ויש לי להוסיף דברים בזה הענין והם שמורים תחת ידי לעת אחרת"

עד כמה שידוע לי, לא זכה מאירסון לאותה עת אחרת, עד שבא מונק וגאל את רעיונותיו והראה כי שיטה זו מיישבת כמה דברים נוספים.

מונק יוצא מתוך השיטה שיש איזו הלכה למשה מסיני למדוד להלכה בכל התורה שכל שיש בהיקפו שלושה – יש בו רוחב טפח על אף שזה אינו מדויק. לפי דרכו, כונת הדברים היא שהתורה גזרה שעלינו 'להפוך' את העיגול למצולע שווה צלעות כך שהמרובע יהיה יתר על העיגול רביע, בין בהיקף ובין בשטח.

כך תירץ את עצם הכלל "שהמרובע יתר על העיגול רביע", ואפילו לקולא ולכן כשרה קורת מבוי עגולה שהיקפה שלושה טפחים אע"פ שלפי החשבון האמיתי אין בקוטרה טפח.

2. ישוב לבעיית "סאה שהיא מוטה על צידה" על פי שיטה זו.

מונק פתר, לפי שיטתו, גם בעיה נוספת שלא זכתה עד עתה לישוב הגון. התוספתא באוהלות (פרק י"ג הלכה ז) דנה בעמוד עגול וחלול המוטל על הארץ, מה היא מידת ההיקף שצריכה להיות לו כדי שכבר לא תהיה טומאה שתחתיו בוקעת ועולה, אלא יאהיל ויטמא כל מה שתחתיו. במילים אחרות, מה שצריך להיות היקפו של עגול כדי שאפשר יהיה לרבע תחת קשתו העליונה רבוע של טפח על טפח שהוא גודלו המינימלי של אוהל. (מובן שאין זה דומה לדין עמוד שאינו חלול, פרק ד סעיף 6, שאז צריך שכל הריבוע של טפח ברום טפח יתרכז תחת העמוד, מה שאין כן כאן האויר שבתוך העמוד החלול מצטרף לטפח על טפח. ועיין בר"ש בביאוורו לדברים אלה של התוספתא (אוהלות פרק י"ב משנה ז) שדבר על מקום טפח על טפח בתוך הסאה ועל היקף של שלושה טפחים, ודבריו תמוהים ובלתי ברורים) חישוב מתמטי יתן את התוצאה 3.75 כהיקף הסאה החלולה שלנו, בהסתמך על ההנחה התלמודית π=3 . r הוא יתר במשולש ישר זוית ODB שאורך הניצב OD שבו הוא אחד מינוס הרדיוס. (CD=1;OC=r) ואורך הניצב BD שבו הוא 0.5

   לפי פיתגורס נקבל כי 2r=1.25 ההיקף הוא 3.75. אבל התוספתא נקטה מספר אחר:

"סאה שהיא מוטה על צידה באוויר אינה מביאה טומאה תחת כולה (באוהל) עד שיהא בהיקף ארבעה טפחים ומחצה. ( לפי גירסת הגר"א : "עד שיהא בהיקפה ארבעה טפחים").

אם היתה גבוהה חצי טפח (מעל הקרקע, אינה מביאה טומאה תחת כולה)עד שיהא בהיקף שלושה טפחים"

הסיפא של התוספתא ברורה ומחוורת שהרי אם גבוהה הסאה חצי טפח מעל הקרקע יש כבר חצי טפח גובה אוויר והסאה צריכה לספק רק חצי טפח בגובה וטפח ברוחב ולשם כך די בסאה שהיקפה שלשה טפחים וקוטרה, אם-כן, טפח.

החלק הבעייתי הוא הרישא, שהרי אפילו לפי גירסת הגאון שההפרש בין הפתרון היוצא ע"פ החשבון לבין הערך של המשנה אינו גדול, עדיין יקשה שדין התוספתא מהווה קולא. מצד הדין נצטרך לטמא כל מה שתחת הסאה כבר מ 3.75 טפחים ואילו לפי התוספתא נטמא רק מד' טפחים ואילך ו "לא-דק לקולא לא אמרינן".

לא רבים מבין המפרשים המקובלים הכניסו את ראשם בענין זה. הגר"א עצמו ( בהגהותיו למשנה אהלות פרק י"ב משנה ז) אחר שגרס את גירסתו, תירץ שגם כאן שקוע חלק מן העמוד באדמה כעין מה שתרצו בעמוד עגול שאינו חלול (פרק ד סעיף 6)

בעל הכסף-משנה ניסה להסביר את הדברים אבל הציץ ונפגע. הרמב"ם (ספר טהרה, הלכות טומאת מת פרק י"ב הלכה ח) הביא את התוספתא כמעט כלשונה (גם בדבריו יש אותו הספק – אם יש לגרוס "ומחצה" או לא) אך אחרי שהביא את שיעור ההיקף הוסיף את המילה "בקירוב".

בעל הכסף משנה בא להסביר את הדברים לפי הגירסא "ארבע ומחצה":

" פירוש, סאה זו שהיא חלולה וכשהיקפה ד' טפחים וחצי  - כשתיתן קו באמצעה יהיה רוחבו של קו טפח ומחצה שהם שש אצבעות, וגובהו שלש אצבעות ( כלומר, הקוטר הוא שש אצבעות והרדיוס המאונך לקוטר זה הוא שלש אצבעות) וכשאנו מגביהין הקו אצבע למעלה מאמצעה – נמצא גובהו ד' אצבעות שהוא טפח, ומתוך ששכשעלה אצבע למעלה הוא שמתקצר ועולה, ונמצא מתקצר מרוחבו אצבע מכאן ואצבע מכאן, נשאר גם ברוחבו טפח הרי בקו זה – "טפח על טפח מרובע".

בכסף משנה שיער שאם נוסיף לרדיוס זה המאונך לקוטר במרכזו עוד אצבע כך שנקבל טפח בגובה (4 אצבעות ) ובגובה זה נעביר מיתר המקביל לקרקע – יהא אורכו טפח. אין צורך לעמוד על הטעות שבפירוש זה.

על פי דרכו, מישב מונק בעיה קשה זו. עלינו לראות את הסאה שלנו, לא כגליל אלא כמנסרה משושה שחתכה הוא משושה משוכלל.

חישוב מתמטי יתן לנו את התוצאה 4.098 כהיקף הסאה ע"פ π=3. המחוג יוכל להימצא ע"י הצבתו במשוואה, למשל, השוויון שבין סכום שטחי שני הטרפזים KLCD   ו  ABCD  לבין שטח הטרפז ABLK , דבר שיבוטא בצורה זו:

פיתוחה של משואה זו יתן את התוצאה 0.683=r  שממנה נובע כי היקף המעגל (כלומר, היקף המשושה שרואים כאילו הוא המעגל) שוה ל: 4.098.

לפי ישוב זה, באמת לא דק התנא 'פורתא' ופורתא זו קטנה מעשירית, "ולחומרא הוא דלא דק" מפני שהוא יטמא כל מה שתחת הסאה מארבעה טפחים ואילך ולא מ 4.098 דוקא, ואין קלקול בדבר.

זהו ישובו של מונק לבעיה, אולם יש בו חיסרון אחד, שהרי אוהל  שאין בו כדי טפח על טפח, אינו מטמא, אמנם, כל מה שמתחתיו, אבל דבר זה מחייב שתהא, טומאה רצוצה בוקעת ועולה, כלומר, כל מה שנמצא מעל הטומאה עצמה "עד הרקיע" יטמא ואין האוהל חוצץ בינו לבינה והוא אוהל פסול.  אם-כן, כל אי דיוק בטומאת אוהלים אף אם קולא הוא לעניין טומאת-אוהל, חומרא הוא לעניין טומאה רצוצה, ובמקרה דנן, עלולים לטעות על פי דברי הברייתא ולהכשיר מטומאה רצוצה מארבעה טפחים ואילך, אע"פ שזו אינה מתבטלת עד 4.098.

3. ישוב דומה בענייני שטחים:

על פי שיטתו מתרץ מונק בצורה המפתיעה בדיוקה את בעיית "עמוד שהוא מוטל באויר"  שלפי המשנה (באוהלות פרק י"ב משנה ז) צריך היקפו להיות כ"ד טפחים.

מכיון שאנו עוסקים בשטח עיגול, עלינו למצוא מצולע שוה-צלעות כל שהוא הקרוב בשטחו לשטח העיגול דנן, ושהריבוע החוסם את העיגול יהיה יתר עליו רביע. תנאי זה יקיים מצולע משוכלל בן שתים-עשרה צלעות החסום באותו עיגול.

חשבון פשוט של שטחי המשולשים שבתוכו יתן את היחס בינו לבין הריבוע החוסם את העיגול 3:4 , ואכן, כך מסביר אחד מבעלי השיטה ר' ח.ד מרגליות ( "דבר ישרים" עמ' 6):

"המרובע יתר על העיגול רביע...היינו מתמונה השנים-עשר שבעיגול, ששטחו ידוע בבירור, והרי המרובע של ארבעה על ארבעה שטחו שש-עשר, והעיגול הוא שנים-עשר, פחות רביע.." כמו שמראה שם –

מונק טען שבמשנתינו אין להשתמש במצולע זה הואיל ובמשנתינו מדובר בריבוע קטן בפינה, ברוח שבין העיגול לריבוע החוסמו. הריבוע הקטן יצטרך, עתה , להכנס קצת בתוך העיגול כדי שיגע במצולע בן י"ב הצלעות ויש בזה חסרון, כי צריך שלמצולע ולריבוע הקטן שבפינה יהיה קדקד משותף. ( מתוך הדברים לא התברר מדוע יש צורך בכך, הלא אנו רואים את המצולע כאילו היה הוא העיגול עצמו)

על-כן בוחר מונק במצולע שוה-צלעות אחר הממלא את התנאים הנדרשים. מצולע זה הוא מתומן שיבנה בדרך

 מיוחדת במינה. בפינותיו של הריבוע החיצון, נבנה ארבעה ריבועים שצלעם שוה לשמינית מצלע הריבוע הגדול. כשנחבר את אמצעי צלעות הריבוע החיצוני עם קדקדי הריבועים שבפינות, נקבל מתומן שוה-צלעות. (על חשבון הצלעות אפשר לעמוד בקלות מתוך חפיפת משולשים שמסביב).

המתומן גם שוה בשטחו ל ¾ שטחו של הריבוע בגדול, מכיון שהריבוע מכיל מלבדו 4ריבועים שאורך צלעם הוא 4/r ושמונה משולשים ישרי-זוית אשר ניצביהם שווים ל ¾ מ r  ול ¼ מ r.

כל אלה מרכיבים יחד ריבוע של r על r  שהוא בדיוק רביע מן הריבוע החוסם את שטחו 4r^2  

מתומן זה תואם להפליא את כל האמור במשנה. לפי הנתונים שנותנת המשנה צריכים ארבעת הריבועים הקטנים שבפינות להיות בני טפח על רום טפח, ומכיון שהמחוג גדול מהם פי ארבע – הרי יהיה אורכו של זה 4 טפחים, ומימלא יהיה אורך הקוטר 8 טפחים וההיקף יהיה

משוואה

ונמצא שלפי שיטה זו אמרה המשנה ערך מדויק ביותר במילים:

"צריך שיהא בהיקפו עשרים וארבעה טפחים"