"סאה תרומה שנפלה למאה הגביה ונפלה אחרת הגביה ונפלה אחרת הרי זו מותרת עד שתרבה תרומה על החולין"

מקור הבעיה:  מסכת תרומות פרק ה' משנה ז'

רקע הלכתי

תרומה היא הראשונה במתנות הכהונה. את התרומה חייבים להפריש מן התבואה, מן היין או מן השמן, ככתוב: "ראשית דגנך ותירושך ויצהרך... תתן לו" (דברים יח, ד), וכמו-כן: "ואני הנה נתתי לך את משמרת תרומתי... כל חלב יצהר וכל חלב תירוש ודגן, ראשיתם אשר תתנו לה' לך נתתים" (במדבר יח, ח).

התרומה נקראת "קודש", ואינה מותרת באכילה אלא לכוהנים בלבד, ככתוב: "וכל זר לא יאכל קודש"(ויקרא כב, י), וזר האוכל תרומה חייב מיתה בידי שמים.

תערובת תרומה בחולין – אם נתערבה תרומה בחולין הדבר תלוי בעיקרון ההלכתי הבא:

1. אם אין בחולין מאה חלקים כנגד תרומה הרי זה "מדמע", מלשון הפסוק: "מלאתך ודמעך לא תאחר". וחכמינו פירשו ו"דמעך" – זו תרומה, כלומר: שכל התערובת נעשית כתרומה ואסורה באכילה לישראל, אבל מוכרים אותה לכהן במחיר תרומה מוזלת והכהן משלם דמיה, חוץ מדמי התרומה שנתערבה בה.

2. אם יש בחולין מאה חלקים כנגד התרומה הרי היא בטלה, ומותרת התערובת לישראל אבל חייב הישראל להוציא ממנה שיעור התרומה שנתערבה בה, ואותה נותנים לכהן.

ביאור המשנה

במשנתנו מדובר על חבית של 100 סאה חולין של שמן, ונפלה 1 סאה תרומה לתוך ה- 100 סאה של חולין. אחר שנפלה נטל מהתערובת 1 סאה תערובת, ושוב נפלה 1 סאה של תרומה לתוך התערובת, ולאחר שנפלה נטל שוב מהתערובת 1 סאה, וחוזר חלילה.

אומרת משנתנו: התערובת תהא מותרת לכלל ישראל (לא לעניין אכילה, אלא לעניין מכירה לכוהן), כל עוד לא הייתה התרומה מרובה על החולין.

הבעיה המתמטית – כעבור כמה שלבים נגיע למצב שבו כמות התרומה תהיה מרובה על החולין?

דרך החישוב תיעשה בכל שלב בדרך הבאה:

כמות התערובת בסוף כל שלב היא 100 סאה, יש להוריד מכמות זו את כמות החולין שהוצאה מ- 1 סאה תערובת בסוף כל שלב.

דרך החישוב לדוגמא:

ניתוח התוצאות:

כתלות ב- A1 ו- An, ובהתבססות על הבעיה הנלמדת:

 לאחר הפיתוח נחזור לבעיה ההלכתית, וכאן נחזור על השאלה –מתי תרבה התרומה על החולין? או לחדד את השאלה בצורה אחרת: עבור איזה N יתקיים המצב הבא:

נפתור את אי-השוויון, ויקבלו את התוצאה הבאה:

אם כן התשובה לבעלי ההלכה תהיה: לאחר כ-70 פעם תרבה התרומה על החולין, וכל התערבות אסורה לכלל עם ישראל.

תוספות "אנשי שם"

"תי"ט ד"ה עד שתרבה כו' כדאמר ר"י כו', ולמסקנא דהתם גם לר"י לא מקילינן לומר קמא קמא בטיל היכא דליכא רובא דהיתרא אא"כ איכא למימר שאני אומר כהא דפ"ז מ"ה. ולפ"ז גם לר"י צריך להך טעמא שכ' הר"ש אליבא דר"ל ולכאורה היינו דווקא ביבש דאין בילא, אבל בלח דיש בילא אינו נאסר עד שיפלו לתוכו ס"ט סאין זאה"ז ועוד פחות מב' שלישים שאז יהיו החולין והתרומה מחצה על מחצה דלפי החשבון כשנפלו ס"ט סאין זאח"ז והעלה אותן זה אחר זה לא העלה מהתרומה כ"א מעט יותר... וע' בספר עטרת שאול בסופו, ושם תמצא החשבון מבאר עפ"י יסודי חוכמת ההנדסה עיין שם, וא"כ ישאר בתוך הכרי".

התשובה שמתקבלת היא כדלהלן:

"... תמצא החשבון מבואר ע"פ יסודי חכמת ההנדסה..."

"... שיפלו לתוכו ס"ט סאין זאח"ז ועוד פחות מב' שלישים שאז יהיו החולין והתרומה מחצה על מחצה..."