אלכסון הריבוע

פרק ד סעיף1: אלכסון הריבוע

על צלע רבוע ששטחו הוא "בית-סאתיים" אמרה המשנה שארכה "שבעים אמה ושייריים". הרמב"ם בפירוש למשנה זו [ פירוש המשניות לרמב"ם, עירובין פרק ב משנה ה] באר שחצר המשכן היתה מלבן של 100 אמה על 50 אמה והכילה בית סאתיים, נמצא שבית סאתיים הוא שטח של 5000 אמה מרובעות. והוסיף בזה הלשון:

"אבל שטח מרובע בעל זויות ישרות (רבוע) שתשברתו חמשת-אלפים אמה, אי-אפשר לדעת צלע אותו השטח אלא בקירוב, לפי שחמשת אלפים אמה הוא מספר שאין לו שורש, ושורשו בקירוב שבעים אמה וחמש שביעיות האמה והענין במספר הזה כמו שביארתי למעלה ביחס קוטר העגול להיקפו [ שם, פרק א משנה ה ] לפי שגם הוא, אי אפשר לעולם להגיע לידיעת שורש המספר, "אלצם" ( אי רציונלי. המתרגם השאיר את הכינוי הערבי לפי שלא מצא לו תרגום נאות ) שלו אלא בקירוב ואין זה מחמת חסרוננו, אלא שטבע אותו מספר כך..."

על דברים אלו התעורר הרש"ש להקשות:

"לא דק כלל (הרמב"ם) דמדוע לא ייודע. תפוס איזה מספר שתרצה, וחלוק בו את החמשת אלפים ומה שיעלה בידך הוא אורך האורך במכוון. ואם יהיה בתשבורת , מכל מקום ידוע הוא"

תחילה הוא מקשה שאפשר לבנות מלבן שאורכי צלעותיו מדיוקים ושטחו 5000 אמה מרובעות, וזה נכון. (הוא תפס בדברי הרמב"ם שבאמרו:" מרובע בעל זוויות ישרות"  נתכוון גם למלבן) אולם בסוף דבריו שאל שגם אם מדובר בתשבורת, כלומר, שיש לפנינו רבוע – מכל מקום ידוע הוא, כי לא בשמים האלכסון הזה ואפשר למדדו, ואף אם קשה להגיע אליו, אעפ"כ, צריכה להיות לו מידה מדויקת כלשהי.

מקום זה הוא המקום היחיד בספרותינו העתיקה שמצינו התייחסות מפורשת לכך שהמספר של אלכסון הריבוע אינו רציונלי, שהרי השבעים אמה ושייריים שלנו אינם אלא כפולת 50 ב 2 √.

כמו שכתבו הר"ש [ פרק ה משנה ה במסכת כלאים] והתשב"ץ [ חלק א, סימן קס"ה ] שכיון שהרבוע שלנו, שהוא רבוע לענין עירובין, נלמד מחצר המשכן – שטחו כמותה ומכיון שחצר המשכן היתה מאה אמה על חמישים, הרי אפשר לחלקה לשני רבועים של 50 על 50 שכל אחד מהם מחזיק שני משולשים ישרי זווית ושווי-שוקיים שאפשר להצמיד את ניצביהם זה על זה, כך שארבעתם יצרו ריבוע שאורך צלעו הוא 50 * 2 √.

גם הר"ש והתשב"ץ הנ"ל הביאו את עניין "שבעים אמה ושייריים" כדי להראות שרבותינו עצמם דייקו ב 2 √  , לעתים יותר מהקירוב: " כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא" שלפי שיעור זה, היה האלכסון של רבוע שצלעו 50 אמה צריך להיות 70 אמה בלבד (7/5 כפול 50 )

רמז לכך ש 2 √ אינו רציונלי מצאנו באותו עניין בירושלמי [ פרק ב הלכה ה ] השייריים של המשנה הם שני שלישי אמה. גם הגמרא הבבלית וגם הירושלמית מעירות שלפי האמת , השייריים גדולים מזה אלא שמכיון שהפרש הדיוק האמיתי ודיוק המשנה הוא קטן, לא הוזכרו. הבבלי, לאחר נתינת הטעם, מנסח את הדברים במילים: "ולא עמדו עליו חכמים"  ואילו הירושלמי – "לא יכלו חכמים לעמוד עליו"

הצורה הנ"ל ובאופן כללי, מובאת בר"ש הנז"ל כהוכחה למשפט פיתגורס במקרה הפרטי שניצבי המשולש ישר הזוית שווים זה לזה, שארבעת המשולשים הללו יכולים מצד אחד להרכיב פעמיים את רבוע הניצב, כשהם בצורת מלבן, ומצד שני, להרכיב רבוע שצלעו היא היתר.

ושם בר"ש מובאת עוד הוכחה דומה לזה והובאה גם בספר "איל משולש" [ סימן ע"ה]

  { וראה שם בסימנים ע"ה, ע"ו עוד שתי הוכחות כלליות המקובלות למשפט פיתגורס הכללי בספר "יסוד עולם" לר' יצחק הישראלי [מאמר א פרק ב לימוד כ"ח] וב "פני שלמה" לר' שלמה בן יוסף גנצפריד על מסכת בבא בתרא [ דף ק"א ע"ב] וכן בספר "עמודי השמים" לרב ברוך בר' יעקב משקלוב[ לימוד י"ח] ובספר "כליל החשבון" לדוד פריזנהויזן [ פרק ה 37] . עוד בענין זה בספר "משנת המידות" [ פרק ג משנה ד] }

אם תקח רבוע שצלעו שווה לסכום ניצבי המשולש שווה שוקיים וישר הזוית, ותחבר את אמצעי צלעותיו יתקבל רבוע פנימי בתוך רבוע זה שצלעו היא היתר במשולש שלנו. הרבוע הפנימי שווה בשטחו לחצי הרבוע החיצון כיון שכל אחת מצלעות הרבוע הפנימי חוצה אחד מארבעת הרבועים שמהם מורכב הרבוע החיצון לשני משולשים חופפים, שאחד מהם נמצא בתוך הרבוע הפנימי ואחד מחוצה לו.

חלק זה של משפט פיתגורס משמש ראיה לכך שאלכסון הריבוע גדול מ"אחד ותרי חומשי" משום שאם תרבע 1 ו 2/5  תקבל (1/25) - 2 , נמצא שאלכסון הרבוע הוא מעט יותר מ"אחד ותרי חומשי".

מסקנא כללית זו הסיק הר"ש שם, והתוספות בשני מקומות [ עירובין דף נ"ז ע"א, סוכה דף ח ע"ב] הביאו הוכחה זו, ועל ידי דוגמא של מספרים, וכך כתבו בד"ה "כל אמתא":

"ואין החשבון מכוון שאם תחתוך טבלא של עשר על עשר (ברבוע) שתי וערב, יהיו בה ד'

טבלאות של ה' על ה'. ועשה רבוע בפנים שילך באלכסון ד' טבלאות . תמצא ברבוע הפנימי ( שטח השווה בשטחו לשטח מלבן של ) נ' אמות על אמה, שהרי הוא חציו של חיצון שהוא ק' ואם אין באלכסון של ה' אלא שבע אמות כמו שעולה בחשבון אמתא ותרי חומשי באלכסונא אז לא היה לו להיות בריבוע הפנימי אלא מ"ט אמות על אמה כדין ז' על ז'. והאלכסון, נמי של רבוע הפנימי לא היה לו להיות עשר, אלא ט' אמות וד' חומשין, אלא יש מעט יותר מאמתא ותרי חומשי באלכסונא"

בדבריהם אלה רצו התוספות לרמוז להוכחה הנ"ל אולם כיון שלא היה להם ענין ביחס שבין ריבועי הצלעות אלא בכלל "כל אמתא בריבועא – אמתא ותרי חומשי באלכסונא" לא דיברו כי אם בו.

עוד זאת הוסיפו התוספות על מה שנאמר לעיל, שגם צלע רבוע חיצון שהיא, במקרה שהביאו, עשר אמות , ושהיא שווה לאלכסון הרבוע הפנימי – תהיה קטנה מעשר אמות לפי "אמתא ותרי חומשי", כמו שכתבו.

המאירי בשני מקומות [בית הבחירה על עירובין ע"ו, על סוכה ח'] מציין שהכלל של "אמתא ותרי חומשי" אינו מדויק והערך האמיתי גדול מ 7/5

"מכדי, כל אמתא בריבועא – אמתא ותרי חומשי באלכסונא, ואף על פי שחכמי החשבון מנו בו שהוא יותר, אין בו כדאי לדקדק עליו"

בגליון כתב היד נוספה הגהה ע"י מאן-דהו והובאה בדפוסים בזו הלשון:

"אמנם לפי חכמי החשבון, אמתא בריבועא – אמתא ותרי חומשי וחלק י"ב מחומש פחות משהו ודברם מיוסד על אומרם: רבוע האלכסון..(כאן חסרה מילה, ואולי צריך להיות 'כפל') רבוע הצלע"

ציין כאן בעל ההגהה את משפט פיתגורס במקרה הפרטי שלו, כשהניצבים שווים זה לזה כפי שמובא במפרשים הנ"ל.

הגר"א [על עירובין ע"ו ע' ב בהגהותיו] כתב ששורש 2 הוא בערך   1.4125(ראה פרק ב, סעיף 3)

מעניין שהחפץ-חיים בענין הרחוק מרוב החישובים, לא שכח לציין ששעור "אמתא ותרי חומשי" אינו מדויק. בהלכות ציצית [ טור או"ח סימן י"א] כתב הבית יוסף, שהשיעור שיש להרחיק את הנקב שבו מכניסים את הציצית מקצה הבגד, נמדד במאונך לשולי הבגד ולא באלכסון לקרן-זוית שאז פסול כי הפסדו בזה "תרי חומשי" מהשיעור לאלכסון, ואז יהיה האנך המורד לשולי הבגד 5/7 משיעורו.

החפץ-חיים הביא את הדברים ב"משנה ברורה" [ סימן י"א סעיף קטן מ"ז] אלא ששינה מעט את הלשון: "שע"י האלכסון מתמעט המדידה לערך ב' חומשין"