פרק ז: שיטתו של ר' יעקב משה מאירסון ומשמעותה

1. מאירסון ושיטתו:

בטרם נבוא לדון בשיטתו של ר' יעקב משה מאירסון שרק מעטים שמעו את שמעו, מן הראוי להקדים ולומר כמה מילים על האיש.

מאירסון חי בדור הקודם בוורשא* והיה אחד מהמון למדניה. שמו התפרסם גם כאחד מראשי "חיבת- ציון" שם. הדבר שיעניין אותנו מתוך מה שהעלה בתלמודו הוא "הערה בחכמת המדידה" שכתב. קונטרס זה נוסף לספר "מבוא התלמוד" לר' ישראל יחיאל מיכל רבינוביץ בתרגומות העברי ע"י המו"ל ים של הספר, על אף שאין לו ול'מבוא התלמוד' ולא כלום, ואף היה פולמוס בין המו"לים והמתעסקים בהוצאת הספר אם מחברו של אותו מאמר היה באמת מאירסון.

כבר במבט ראשון נראה שבעל המאמר קבל את הכשרתו המתמטית מן התלמוד והמפרשים, אולם קלט גם משהו מבולבל מן המתמטיקה של ימינו. בספרו קורא הוא לשורש - 'לאגריטהמע' ומחלק בין שני סוגי נקודות - נקודה בעלת נפח ונקודה חסרת נפח, ועוד כהנה וכהנה, דברים המראים שלא קיבל חינוך מתמטי.

לעומת-זאת, דן הוא לאורך כל המאמר בדברי חז"ל בענייני החשבונות האי-רציונליים ומנסה להסבירם.

גם בחשבונותיו המתמטיים מקננת רוח המתמטיקה העתיקה. כשהוא עוסק למשל, בכלל המתמטי המופשט:

הוא מעבירו לשטחים ורצועות ומראה בציור ריבוע שאורך צלעו a+b

נכנסים שני ריבועים, האחד של a על a והשני- של b על b וכן שני מלבנים שאורכם a ורוחבם b.

חשיבותו של המאמר הזה נעוצה בשיטה שהוא נותן לחישובי מספרים אי-רציונליים. שיטה זו מבוססת על התקרבות למספר האמיתי, ע"י נתינת קירובים גדולים וקטנים ממנו, תוך התקרבות מתמדת אליו בשיטה קבועה, כעין מטוטלת של שעון.

את המאמר "גילה" יקותיאל גינזבורג ("כתבים נבחרים") והתפעל ממנו מאוד. הוא כתב עליו מחקר מקיף בו הראה שדרכו של מאירסון בחישוב שורשים היא היא הדרך שבה הלכו רבותינו בחישובים האי-רציונליים שבתלמוד. אף הוא הראה ששיטה זו פותרת, למרבה הפלא, גם בעיות בחישובי מספרים אי-רציונליים בכתבים המתמטיים ששרדו מיון העתיקה ואף מהודו(!) מלפני אלפי שנים, כלומר ששיטה זו הייתה השיטה המקובלת לחישוב שורשים אי-רציונליים בעולם העתיק שנשתכחה וחזרה ונתגלתה ע"י ר' יעקב משה מאירסון שהחזיר את עטרת חישוב השורש ליושנה.

חוקרים רבים וחשובים ניסו את כוחם בפתרון הבעיה המשולשת הזאת והעלו חרס בידם, אולי משום שהיו רחוקים מראשית המתמטיקה ולא יכלו להעלות על דעתם דרך כזו שהגה מאירסון, מבלי שיחשוב, שפתר בכלל בעיה כל-שהיא, במתמטיקה הפרימיטיבית שבידו, שלא הייתה שונה בהרבה מזו העתיקה.

המיוחד בשיטה זו הוא, שהיא בנויה על נסיונות להתקרב למספר הדרוש, כך שכל נסיון בנוי על קודמו.

בכל מספר, 'בלתי-גדור', כלומר מספר ששורשו אינו רציונלי, שאתה רוצה לחשב את שורשו, עליך לתת, לפי הצעתו של מאירסון, תחילה שיעור מקורב לשורש של אותו מספר, וזו היא האומדנה הראשונה.

לאחר מכן עליך לחלק את המספר הבלתי גדור בקירוב שנתת ואז תקבל קירוב אחר שאף הוא קירוב לשורש האמיתי, שהרי מכפלתם של שני הקירובים היא המספר.

כאומדנה בדרגת דיוק שלישית יש לקחת את הממוצע שבין שני הקירובים ואפשר להוסיף אומדנה רביעית - מנת השבר שמונהו הוא המספר הבלתי-גדור ומכנהו הוא האומדן השלישי וחוזר חלילה.

ומכיון שלאחר כמה שלבים כבר מתקבלים מספרים מקורבים למדי שמוניהם ומכניהם הם מספרים בעלי כמה ספרות, וקשה לחשב להם מכנה משותף כדי לחברם ולחלק את סכומם בשניים, לשם מציאת הממוצע, מציע מאירסון דרך קלה לחישוב ממוצע בלתי מדוייק שאף הוא אומר שאין להשתמש בו, אלא כשהמספרים קרובים כבר זה לזה.

אם קיבלנו שני אומדנים הקרובים כבר במידה רבה לשורש האמיתי, לא נועיל בהרבה אם נחפש דוקא את הממוצע החשבוני ודי לנו אם נמצא מספר בינהם, הקטן מהגדול שבהם וגדול מהקטן שבהם.

השבר החדש הזה, לפי הצעת מאירסון, יהיה מונהו שווה לסכום מוני שני הקירובים שקדמוהו ומכנהו- לסכום מכניהם.

טענתו היא שאם נתון כי

וידוע כי:

הרי נוכל לומר כי:

והוכחת הדבר היא פשוטה:

יוכל אחרי פעולות שוות בשני אגפי האי-שוויון להפוך ל:

דהיינו:

שפירושו בדיוק:

שהוא נתון. ובאותה הדרך: אם:

הרי:

שהם:

כלומר:

ומש"ל

לדוגמא: אם נרצה לחשב את שורשו של 2 שהוא כידוע מספר בלתי גדור (כמבואר בהקדמה המתמטית - סעיף 1)  נתן תחילה את הקירוב 1. כדי למצוא את האומדן השני נחלק ב 2/1 וא"כ תהיה האומדנה השנייה 2. האומדנה השלישית תהיה 2/(1+2) דהיינו 3/2. האומדנה הבאה תהיה (3+2)/2, ז"א 4/3.

השלב הבא יהיה הממוצע בין 3/2 לבין 4/3. כאן כדאי ואפשר כבר להשתמש בממוצע, לפי הדרך המיוחדת.

נקבל:

עתה נוכל להמשיך הלאה ולקבל קירובים חדשים:

וכן הלאה, וכך נגיע לקירוב טוב במספר מועט של חישובים קלים.

2. סוגיות שונות המתיישבות עפ"י שיטה זו

גינצבורג רצה במאמרו להראות כי בשיטה זו השתמשו קדמונינו (ואף היונים וההודים הקדמונים), והראה שכמה מספרים תמוהים שנתנו, מתיישבים יפה לפי שיטת מאירסון. הוא התיר לעצמו גמישות מסויימת בכמה מקומות והרשה לעצמו להרחיב שברים שקיבל, כך שיתאימו לצרכיו מבלי שימצא סיבה שבגללה היו חז"ל צריכים לעשות זאת. כן הרשה לעצמו לשחק בשתי האפשרויות ההתקדמות שנתן מאירסון - חלוק המספר הבלתי-גדור בשורש ומציאת הממוצע, כך שלא יבואו דוקא בזה אחר זה לסירוגין, או , כך שהממוצע לא יהיה דוקא בין שני הקירובים האחרונים שנתנו.

נוסף לדחקים הללו אראה לקמן שמוכח מתוך חשוב אחד לפחות בדברי חז"ל שמחשביו לא הלכו בדרך זו, דבר המחייב אותנו לומר שאף אם היתה שיטה זו קיימת (ודבר זה מוטל בספק גם אחרי הראיות הרבות לשיטה, בפרט לנוכח העובדה שאף אחד מכל מחשבי השיטה, אליבא דגינצבורג, בארץ ישראל, בבבל, ביון או בהודו, לא טרח להעלותה על הכתב. גינצבורג תולה את הדבר בכך ששיטה זו היתה כה ידועה ומפורסמת באותם ימים בין כל העוסקים בהנדסה בעולם, עד שאיש לא ראה צורך לכתבה על גבי הנייר. (אין צורך להראות את הדוחק שבטענה מעין זו) הרי לא היתה דרך החישוב היחידה שהיתה נהוגה והיו שלא השתמשו בה.

על פי דרך זו מישר גינצבורג את ההדורים בעניין שרבים נתחבטו בו ואף נדחקו, עניין עמוד המוטל לארץ. (אוהלות פרק י"ב משנה ז). הבעיה שם בקיצור היא זו:

מהמשנה שם משמע במפורש שהיקפו של עיגול החסום בריבוע שאלכסונו גדול מצלעו בסכום שני אלכסונים של רבוע טפח על טפח הוא כ"ד טפחים, כלומר:

√2*(24/π)=(24/π) + 2√2

עתה, לפי שיטה זו ילכו הדברים למישרין. בהסתמך על כללי הש"ס

π=3

נוכל לטעון: 2√2 +8 =2√8

 3√2=4

4√2=4+√2

√2=4/3

ערך זה הוא הוא הערך הרביעי בשיטת הקירובים המאירסונית כמו שהראתי בסעיף הקודם. סדר הערכים לפי מאירסון הוא ...1,2,3/2,4/3

כאן יש מקום להכניס את התשב"ץ בעניין זה (עניין קס"ה) שחכמים קירבו את החשבון במשנה זו כי החשבון מסובך ולא רצו לבלבל את התלמידים. במקומות אחרים שאין החשבון מסובך הרחיקו לכת (ולפי שיטתם כפי שיבואר) ונתנו ערכים מדויקים יותר. כאן הסתפקו בארבעה שלבים כי החשבון קשה יותר.

האומדנה החמישית, לשיטת מאירסון, היא הממוצע שבין 3/2 ו 4/3 לפי הדרך שחדש מאירסון בקביעת ממוצע מקורב יהיה הממוצע (3+2)/(4+3) שהם 7/5 דהיינו 12/5. אחד ושתי חמישיות אינו אלא הערך המפורסם במילים: "כל אמתא בריבועא- אמתא ותרי חומשי באלכסונא"

מכאן עובר גרינצבורג להראות איך נגיע לפי שיטת מאירסון גם "לשבעים אמה ושיירים" של הגינה והקרקף (פרק ד סעיף 1) ה"שבעים אמה ושיירים" הם כמו שכתבו הר"ש ( כלאיים פרק ה משנה ה) והתשב"ץ (עניין קס"ו), אלכסון של חמישים ושיירים הם כפי שמשמע שם - שני שלישי אמה.

כלומר: 2√50=702/3

דהיינו, 75/ 106=2√

כדי להגיע לערך זה, יוצא גינצבורג שוב מתוך המתודה המאירסונית אך בדרכו מגבב הוא דחיקה על גבי דחיקה ונאלץ לסטות בכמה דברים מהדרך הסלולה ע"פ מאירסון.

הוא יוצא מתוך האומדן השישי של 2√ שהוא כאמור 10/7 וממנו הוא מגיע בדרך של ממוצע מאירסוני ל 17/12. עתה מרשה הוא לעצמו להרחיב שבר זה פי 6 כדי שיתאים לחישובי הש"ס והוא מקבל 102/72. לפי החישוב המאירסוני הפשוט היה עלינו למצוא כעת את מנת היחס שבין 2 לבין 17/12, או בצורתו החדשה - 102/72, אלא שפעולה זו, לא תובילנו לתוצאות הדרושות. לכן מחליט גינצבורג שעלינו לחשב ממוצע, אבל שוב, לא ממוצע בין שני המספרים האחרונים, כפי שהורה מאירסון לעשות, אלא ממוצע בין האומדנה הרביעית - 4/3 לבין האומדנה שלנו - 102/72.

לפי שיטת מאירסון למציאת ממוצע יהיה הממוצע במקרה שלנו: 106/75 שהוא בדיוק הערך של המשנה, החשבון הלך בדרך שהוליכו אותו והביא את התוצאות הדרושות.

גינצבורג אינו נח ואינו שקט, ומראה שגם הקירוב המדוייק יותר שנותן הרמב"ם - 705/7 - אף הוא יסודתו בחשבון של מאירסון.

הפעם יוצא החשבון בפשטות מתוך שורש של 5000 לפי מאירסון.

האומדן הראשון הוא 70. לקירוב השני נגיע ע"י חלוקת 5000 ב 70 שזה 500/7. מכיון שההפרש בין הערכים גדול למדי, נמצא את הממוצע שלהם בדרך המקובלת ונקבל: 705/7

נמצא שלאחר שלושה שלבים בלבד כבר הגיע הרמב"ם לאומדן מדויק למדי, ואע"פ שקל יותר להגיע ע"פ מאירסון לערך מדוייק יותר, מ"מ נקטה המשנה רק 702/3 כי רצתה שחשבונה יתקיים בטפחים שלמים, כמו שכתב רש"י בפירוש משנתינו.

את הסיבה לכך שהרמב"ם בחר לחשב את חשבונותיו לא כפי שעשתה המשנה יש למצוא בדברי הרמב"ם עצמו שהדגיש בפירושו שהמדובר הוא דווקא בשורש 5000 ולא הראה שאפשר לקשר זאת לשורש 2.

זה ניכר במיוחד מתוך ההוכחה שהביא לשיעורו:

"ולכך אמרו שבעים ושייריים, לפי שאם תעשה את השייריים האלו חמש שביעיות כאשר זכרתי לך ותכפול שבעים אמה וחמש שביעיות בשבעים אמה וחמש שביעיות - יהיו תוצאות המספר חמשת אלפים וחצי אחד בקירוב" ( אמנם גם בירושלמי - עירובין פרק ב הלכה ה - הביא הוכחה דומה ודווקא לשיעור של שני שליש)

למרות שתלית שיטה זו ברמב"ם הצליחה בסוגיא זו, לא כן הוא הדבר במקומות אחרים. על המקרה הקלאסי שמתפרש לדעת גינצבורג, ע"פ שיטה זו, המשנה הנ"ל נותנת את הקירוב של 4/3 אומר הרמב"ם ( הלכות טומאת מת פרק י"ב הלכה ח)

"זה שהצריכו כ"ד טפחים - על העיקרין שסומכין עליהם חכמים בחשבון כל המשפטים, שכל שיש בהיקפו שלושה טפחים - יש בו רוחב טפח, וכל טפח על טפח בריבוע - יש באלכסונו טפח ושני חומשין..."

הרמב"ם אינו רומז לשיטה זו על אף שהוא מרחיב, שלא כדרכו, את הדיבור על טעם ההלכות, ולהפך, הוא תולה את הדברים במפורש בחשבון הרגיל של 1.4

גינצבורג כתב שיש עוד דוגמאות רבות להראות שחכמינו חישבו כך את חישוביהם אלא שלא הביאם מחוסר מקום. ברצוני להביא עוד דוגמאות ששיטתו תופסת בהם.

חישובי מאירסון פותרים גם את בעית זרק כוורת (שבת, ח ע"א ) אביי אמר שם לפי ההבנה הפשוטה (לא כפירוש רבינו חננאל) שאלכסון של ריבוע שאורך צלעו 4 טפחים הוא 6 טפחים - " כל אמתא בריבועא - אמתא ופלגא באלכסונא" וכבר הקשו המפרשים שזה נוגד את הכלל שבידנו: "כל אמתא בריבועא - אמתא ותרי חומשי באלכסונא"

לפי השיטה הזאת לא יקשה כלום. הקירוב 3/2 הוא האומדן השלישי ואביי בחר על צד הקירוב בו, גם כאן נתלה בדברי התשב"ץ הנ"ל ונאמר שלחכמים ניתנה רשות לדייק כרצונם, כדי שלא לבלבל את התלמידים.

בד"כ דייקו עד אומדן חמישי7/5 אולם אם רצו יכלו לדייק רק עד השלישי 3/2.

סיוע יפה לשיטת גינצבורג אפשר למצוא בשקלא וטריא שבגמרא ביחס לתחומי שבת (עירובין נ"ז ע"א) . הגמרא שם אמרה שיש לרבע את העיר ואת תחומה, שאע"פ שיש ליוצא מן העיר אלפים אמה לכל רוח עיגול, מכל - מקום יש להפך את העיגול לריבוע ונמצא שהיוצא מן העיר "משתכר" כלומר יכול ללכת יותר, גם כאורך ה "המורשא - דקרנתא כלומר כאורך מה שאלכסון הריבוע יתר על העיגול.

בעיר עגולה שקוטרה אלפים אמה משתכר ויוצא ממנה 800 אמה.

קוטר המעגל הגדול הכולל בתוכו את העיר ואת תחומה המקורי שוה לצלע הריבוע החיצון - 6000 אמה. לכן יהיה אלכסון הריבוע הזה 8400 (לפי חשבון 1.4)

האלכסון יהיה יתר על הקוטר, לפי זה, 2400 אמה שהם 1200 לכל אחד משני הכיוונים. מתוכם משתכרת העיר עצמה מתוך כך שריבעוה 400 אמה (חצי מאלכסון של אלפיים על אלפיים) והתחומין, בכך שהיוצא מן העיר יוכל ללכת גם את האלכסון - 800 אמה.

על זה נאמר בגמרא:

"אמר ליה רב חנילאי לר' אלעזר: מכדי, כמה מרובע יתר על העיגול - רביע, הני, תמני מאה? שית מאה ושתין ושית ותרי תילתי הוו"

כלומר, אתה מסיק מתוך שהאלכסון בריבוע של אלפיים על אלפיים הוא יתר על ב 800.

והלא נקוט בידינו שהמרובע יתר על העיגול רביע. ולפי הבנתו של ר' חנילאי, הכונה גם לענין אלכסון, שאלכסון הריבוע החוסם יתר על קוטר העיגול החסום, דהיינו על צלעו רביע, וא"כ שורש 2 יהיה ערכו 4/3 ולכן אינו שווה ל 800 אלא ל 6662/3. ר' אלעזר ענה לו שהכלל " כמה המרובע יתר על העיגול רביע" לא נאמר אלא ביחס הריבוע כולו לעיגול כולו , בין בהיקף ובין בשטח, אבל לא לענין האלכסון שעליו יש לנו כלל אחר:

"כל אמתא בריבועא - אמתא ותרי חומשי באלכסונא"

לפי שיטתו של גינצבורג מובנת ומפורשת לנו שיחתם. ההוא-אמינא של ר' חנילאי היתה שהואיל ויש הרבה אפשרויות לדייק בשורש 2 כפי הדרך של מאירסון, ואנו רואים שאחד הכללים שבידינו מתאים לאחת האומדנות - "כמה מרובע יתר על העיגול - רביע" נוכל לפרשו:4/3, הרי למדונו רבותנו בכלל זה לדייק עד ערך זה ולא יותר.

ר' אלעזר השיב שכלל זה אינו שייך לענייננו ויש ללכת לפי כלל אחר המתאים לאומדנה אחרת - "כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא" שמשמעותו: 7/5, הקירוב הבא בשיטת מאירסון.

ראינו עתה שיש כמה סוגיות המתפרשות יפה לפי הצעתו של גינצבורג, אולם שכנגדם, גם נדחק כדי להעמיד את דברי חז"ל והראשונים כך שיתאימו לשיטת מאירסון ( כמו יישובו לשייריים של הגמרא) ולא עוד אלא שכתב שכל דבריהם מבוארים לפי שיטה זו וקצר המקום מלהכיל את המקומות הרבים המתפרשים ע"פ שיטה זו.

ברם, התבוננותו בסוגיות השונות תראה שיש כמה וכמה מקומות שדרך המלך המאירסונית לא תועיל בהם ורק דחקים מדחקים שונים יוכלו להסביר לפיה.

אביא, לדוגמא, חישוב אחד של התוספתא ( כלאים פרק ב הלכה ז) המראה באופן בולט שמחשביו לא פעלו לפי המתודה של מאירסון.

התוספתא במסכת כלאים דנה בבית רובע הקב רבוע, ומעריכה את צלעו של זה בעשר אמות ומחצה. לפי זה שוה שטחו של בית רובע ל 110.25 אמות מרובעות. הסאה , כידוע, מכילה ששה קבין וממילא - כ"ד רובעי הקב. נמצא שבית רובע שוה בשטחו ל 1/24 מבית סאה ו 1/48 מבית סאתיים. שטחו של בית סאתיים ידוע לנו מחצר המשכן - 5000 אמה. לפי חשבון של התוספתא יוצא שטח בית סאתיים 5292 אמות מרובעות שיעור שאי הדיוק בו רב למדי. אורך הצלע בצורה יותר מדויקת הוא 10.21. לפי קירוב זה יוצא שטחו של בית רובע 104.4 אמות בריבוע ושטחו של בית סאתיים 4993.92 ערך הקרוב יחסית לשיעור הדרוש - 5000.

לפי שיטתו של מאירסון, מגיעים לערך המדויק מזה בשלושה שלבים בלבד(!), דבר המראה את יעילותה של השיטה, ועם זאת, את העובדה שאותם חכמים שחשבו ערך זה ולא הגיעו לשיעור זה - לא השתמשו בשיטה זו.

הערך המקורב הראשון לאורך הצלע הוא 10 אמות. השלב השני הוא חלוק שטח בית רובע ב 10, פעולה שתתן את התוצאה 10.415. הפעולה השלישית , מציאת הממוצע שבין שני המספרים הללו - תתן את המספר 10.2075 מספר הקרוב לשורש האמיתי יותר מ 10.21.

נמצא שגם אם השתמשו חז"ל בכמה מקומות בשיטתו של מאירסון, כפי שסבר גינצבורג, הרי מ"מ לא הייתה זו הדרך היחידה שלפיה עבדו ולא כולם השתמשו בה.