פרק א : כללים בחישובים אי-רציונליים בדברי רבותינו

1.     "המרובע יתר על העיגול רביע" – בהיקף ובשטח

הכלל הראשון והחשוב בחישובי עיגולים של קדמונינו הוא ההנחה π=3, שאי הדיוק בה רב למדי, ובלשונם של התנאים: "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח" (עירובין פרק א משנה ה) כלל זה מנוסח בכללות במשנה אחרת: " שהמרובע יתר על העיגול רביע" (אהלות פרק יב משנה ו) לפי פשוטם של דברים, מדובר שם על היקף עגול והיקף העיגול מוגדר שם ע"פ יחסו להיקף הריבוע החוסם אותו שאין שום קושי במציאתו.

כלל זה נובע אף הוא מן ההנחה π=3 שכן קוטר העגול שווה לצלע הריבוע החוסמו, וכיון שהיקף הריבוע החוסם שווה למכפלת הקטר בארבע והיקף העיגול - למכפלת הקוטר בשלוש [2πr=3*2r] הרי היחס שבין היקפי הריבוע והעיגול הוא 4:3 והמרובע יתר על העיגול רביע ממנו, מהמרובע.

אולם ניסוח כללי זה שנותנת לנו המשנה, מרמז גם על משהו נוסף להיקף שבו מדברת המשנה שהרי משנתינו עוסקת בהיקף קורה המביאה את הטומאה, שנדרש שרוחבה, או כשהיא עגולה - קוטרה, להיות טפח, ואומרת שקורה עגולה צריך שיהא בהיקפה ג טפחים "שהמרובע יתר על העיגול רביע", ואם כן מדוע לא אמרה המשנה בפשטות : "כל שיש בהיקפו ג טפחים יש בו רוחב טפח" כפי שעשתה בעירובין (פרק א משנה ה ), אלא נכנסה לדיון על היקפי שתי צורות גיאומטריות כשלא היה צורך בזה?

ועוד, אם רק בהיקף אנו עוסקים, למה לה למשנה לחזור במילים שונות על כלל שכבר אמרה במקום אחר ובמילים אחרות? (המשנה הנ"ל בעירובין)

מתתיהו הכהן מונק במאמרו "שלוש בעיות הנדסיות בתנ"ך ובתלמוד" הראה שיש שהשי"ן שלפני המילה אינה באה בהוראת סיבה או בהוראה הרגילה של "אשר" ומשמעותה כמו: אם-כן, ואיפה וכיו"ב. נמצא שהמשנה מסיקה מתוך שיחס ההיקפים של העיגול והריבוע הוא 3:4, שגם יחס השטחים הוא כזה ונמצא, אם-כן, "שהמרובע יתר על העיגול רביע" בכל ענין. התנא שיבץ מסקנא זו דוקא במשנה זו ולא במקום אחר שבו נזכר הקירוב π=3 בעירובין, מכיון שכאן יש בזה מעין הצעה למשנה הבאה הדנה בשטח עיגול לעניין טומאה שתחת עמוד עגול המונח על הארץ.

בעלי התוספות, גם כן הרגישו בדברים הללו ולכן החליטו שהכלל "כמה מרובע יתר על העיגול- רביע" שייך גם בשטח, ששטחו של ריבוע גדול משטח העיגול החסום בתוכו פי 1.333 (או פי 4 חלקי π). ( עירובין דף נ"ו ע"ב ד"ה "משכחת"; סוכה דף ח ע"ב ד"ה "כמה מרובע" וכן משמע גם מ ד"ה "רביעית של תורה" ) ראשית, מבהירים הם כי קיום היחס הזה בהיקף אינו גורם במישרין לקיום היחס בשטח, שא"כ היה זה בגדר "פשיטא", דבר שאין המשנה צריכה לחדשו. דבר זה מראים התוספות במלבן שאין היקפו מלמד על שטחו, וכדוגמא קיצונית הם מביאים מלבן של חמש יחידות על יחידה שאע"פ שהיקפו 12 יחידות, הרי שטחו הוא רק 5 יחידות מרובעות. לאחר הקדמה זו, שהיא איננה דבר המובן מאליו למי שלא הורגל במתמטיקה, ניגשים התוספות להוכיח את דבריהם; ושלוש הוכחות יש להם. שתיים מהתלמוד עצמו והשלישית - "מופת" גיאומטרי.

ההוכחה הראשונה מהש"ס היא מדברי הגמרא (עירובין דף י"ד עמ' ב ) שים הנחושת שעשה שלמה המלך החזיק מאה וחמישים מקווה טהרה, כי מקווה מחזיק ארבעים סאה שהם אמה על אמה ברום שלוש אמות, דהיינו, שלוש אמות מעוקבות ויש"ש החזיק 450 אמות מעוקבות. לאחר שקלא וטריא מגיעה הגמרא לומר שיש"ש היה עשוי שני חלקים שהתחתון שבהם היה תיבה של עשר אמות על עשר אמות ברום שלוש אמות והעליון היה גליל שקוטרו 10 אמות וגובהו שתי אמות. שני חלקים אלו הכילו יחד 450 אמות מעוקבות כי החלק התחתון הכיל 300 והעליון 150. חלק זה של דברי הגמרא הוא תוצאה ברורה של הכלל "כמה מרובע יתר על העיגול - רביע" והפעם בשטח. בסיס הגליל הוא עיגול שקוטרו עשר אמות. ריבוע של עשר על עשר - שטחו 100 אמות בריבוע - וא"כ יהא ריבוע זה יתר על העיגול רביע והעיגול יהיה שווה בשטחו ל 75 אמות מרובעות וכשתכפילהו בגובהו- 2 אמות, תקבל 150 אמות מעוקבות.

ההוכחה השנייה היא מסוגיית תחום ערי לויים 

(עירובין דף נ"ו עמ' ב) שבה נאמר שעיר לוויים עגולה של אלפיים אמה על אלפיים אמה, נותנים לה בעיגול אלף אמה לכל רוח, למגרש. כל התחום שמחוץ למגרש, ועד קצה הריבוע שיש בינו לבין הריבוע החוסם את העיר אלפיים אמה, הוא שדות וכרמים. על מקרה כזה אמרו שם בגמרא: "נמצא מגרש רביע והשאר שדות וכרמים" ולמדו זאת מהכלל "שהמרובע יתר על העיגול רביע".

כוונתם של האמוראים בזה היא שהמגרשים יהיו, במקרה שלנו רביע מכל השטח הכולל את העיר ואלפיים אמה שלה לכל רוח. כל השטח הוא 36 משבצות של אלף אמה על אלף אמה העיר והמגרש הם עיגול שריבוע קוטרו הוא 16 משבצות כאלה בריבוע, וא"כ יהיה שטח הריבוע 3/4 מ 16, דהיינו, 12. בתוך ה 12 תופסת העיר עיגול של 2 משבצות ששטחו הוא, כנ"ל, 3/4 מריבוע הקוטר, כלומר 3/4 מ 4, דהיינו 3 ריבועים שצלעם 1000 אמה. כשתחסיר מ 12 משבצות 3, תקבל 9 משבצות שהן בדיוק רביע מ 36 משבצות.

ההוכחה המתמטית שנתנו התוספות מובאת שם בשם ר"י והיא מבוססת על "חוטים" (עוד על זה, פרק ו סעיף 3)

(ראה גם החכמת מנוח)

אם תמלא עיגול בחוטים מעגליים, זה בתוך זה, באופן שכל אחד מהם קטן מחברו באותה המידה, ומידה זו תהיה כל כך קטנה עד שאפשר להחשיב את העיגול כאילו כל שטחו מורכב ממעגלים אלו. העגול האחרון, כלומר, הפנימי, כבר הצטמצם לנקודה. תחתכם ברדיוס המעגל החיצון ו'תפשוט' החוטים כך שיהפכו לישרים. בצורה זו תקבל משולש שווה שוקים שבסיסו שווה להיקף המעגל החיצון, דהיינו 2πr, או לפי כלל הש"ס, מכפלת הקוטר ב 3, וגובהו שווה ל r.

( יוצר משולש מפישוט החוטים ולא תיוצרנה במקום הפישוט החוטים עקומות גיאומטריות מכיוון שלפי הבניה שווים ההפרשים בין החוטים זה לזה והם מחולקים באופן שווה בין שני הצדדים, לכן יהא זה משולש שווה שוקיים. הוכחה זו אינה מתמטית מכיוון שאין היא יוצאת מתוך הגדרה מסוימת לשטח, היא מנסה לשמור על שטח ולהעבירו מצורה גיאומטרית אחת לשנייה בלי להגדירו בכלל. כמו כן, אי אפשר להסביר מבחינה מתמטית את ענין 'פישוט' החוטים )

עתה עליך לחתוך את המשולש לשני חלקים שווים על ידי האנך האמצעי שעובר דרך הקודקוד ואשר, לפי משפטי היסוד של ההנדסה מחלק את המשולש שווה השוקיים לשני משולשים חופפים, ולהניח אותם זה אצל זה, כך שיוצר מלבן ששוקי המשולש יתלכדו בו לאלכסון.

צורה אחרונה זו ששמרה על שטחו של העיגול המקורי היא לפי הבניה מלבן שארכי צלעותיו הם πr על r או לפי כללי חז"ל - חצי הקוטר על הקוטר ומחציתו. ונמצא שטח המלבן-המשולש-העיגול πr על r. ולפי כללי רבותינו שלושת רבעי הקוטר בריבוע ונמצא שריבוע הקוטר יתר על העיגול רביע בשטח.

המקור לקירוב π=3 שיש בו אי-דיוק של כ 4% נמצא בגמרא הדנה על דברי המשנה " שכל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח" (עירובין דף י"ד עמ' ב) על כלל זה אומרת הגמרא " מנא הני מילי?"אמר ר יוחנן אמר קרא: ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו וקו שלושים באמה יסוב אותו סביב" הגמרא ממשיכה ומבררת מה הייתה כוונת הנביא (מלכים א פרק ז פסוק כ"ג) במילים "משפתו עד שפתו" האם הם נכללים בחשבון או לא. לדיון זה ולעצם השאלה "מנא הני מילי" נודעת חשיבות רבה והם ידונו באריכות בהמשך ( פרק ה סעיף 5, פרק ה סעיף 3)

2.     כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא

השורש האי-רציונלי המצוי ביותר בהלכה הוא 2√, זכה אף הוא לכלל יסודי המופיע כמה וכמה פעמים בדברי חכמינו, והוא: "כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא"

ז"א שאם נתון לנו ריבוע שאורך צלעו אמה, הרי אורך אלכסונו, שהוא יתר במשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים הוא אמה ושתי חמישיות האמה. כלומר 1.4 אמה. לפי משפט פיתגורס שווה היתר במשולש כזה ל 2√.

(מן הראוי לציין שעד כמה שבדקתי, לא נזכר שמו של פיתגורס בשום מקום בראשונים ובאחרונים, על אף שהמשפט המיוחס לו נזכר בכמה מקומות. המשפט מובא לרוב בשם "חכמי-המידות" או בשם אוקלידס.)